bonne question !
Il n'y aucun texte légal qui règle cette question. Le droit est jurisprudentiel.
Le renouvellement doit dans tous les cas, être prévu au contrat, être accepté par le salarié, de manière expresse (pas de tacite acceptation), et pendant la période initiale (Soc. 10 janvier 2001).
Mais ceci requiert, en outre, que le renouvellement était prévu dans le contrat d'origine. Cette prévision peut-elle faire l'objet d'un avenant postérieur ?
J'en doute. il n'y a pas, à ma connaissance, d'arrêts de la Cour de cassation sur cette question précise. Toutefois, un arrêt de principe du 19 février 1997 retient qu'une "période d'essai ne se présume pas et doit être fixé dans son principe et dans sa durée, dès l'engagement du salarié". A mon sens, le renouvellement de l'essai affecte sa durée, et doit être prévu dès le contrat initial. La réponse à votre question serait ainsi négative.
Reste l'éventualité d'une convention collective. Elle peut prévoir un renouvellement, et même une période d'essai sans que le contrat n'y fasse référence.
Mais, en premier lieu, l'essai, et le renouvellement doivent être prévu à titre obligatoire (souvent, la convention prévoit qu'un essai pourra être stipulé : donc ce n'est obligatoire, le relais du contrat est nécessaire).
En second lieu, cette solution est controversée, et pourrait à terme faire l'objet d'un revirement.
Pour conclure : impossible de répondre de manière tranchée en l'absence de solutions claires en la matière. Il y a toutefois de bonnes raisons pour dire que le renouvellement par avenant au contrat (donc non prévu à l'origine), est sans effet.